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任意阶微积分 Any Order Calculus

任意阶微积分, 一统天下把微分与积分统一到一个公式`d^(o(x))/dx^(o(x))`y, 其中o(x)是阶函数(the order function )。当o(x)是正整数时它是导数微分,当o(x)是负整数时它是积分,负2阶是二重积分,当o(x)是分数时它是分数阶微积分, 当o(x)是变量时它是函数阶导数。这些都可用数学手册计算器计算.

分数阶微积分 Fractional Calculus

  • 分数阶导数简介

    二次半微分 = 1阶微分,
    `d^0.5/dx^0.5 d^0.5/dx^0.5 x = d/dx x = 1`

    对于任意的o(x),由于伽玛函数的参数在实数部为负整数时没有定义,需要在分数微分前先进行整数微分。例如
    `D^(3/2)`f(x)=`D^(1/2)D^1`f(x)=`d^(1/2)/dx^(1/2) d/dx` f(x)

    这苻合Caputo的定义,

    Caputo的定义是先微分后积分,对于分数阶微分方程的初值要求与普通微分方程相同,因此本文釆用广义Caputo的定义: 积分下限a为f(x)的反函数`f^(-1)(0)` .

    负阶导数

    负阶导数相当积分, 负一阶等于积分, 负2阶是二重积分,负1/2阶是半积分.
    `d^(-0.5)/dx^(-0.5)` f(x) = `int f(x) (dx)^0.5`

    复数阶微积分

    以上微分算子的扩展不仅仅局限于实数阶。举个例子, (1-i)阶导数作用后, (1+i)阶导数再作用,可以得到二阶导数。

    (1+i)阶微分和(1-i)阶微分 = 2阶微分,
    `d^(1+i)/dx^(1+i) d^(1-i)/dx^(1-i) sin(x) = d^2/dx^2 sin(x) = -sin(x)`

    函数阶微积分

    当阶数o(x)是变量时, 它是函数阶导数微分。
    `d^cos(x)/dx^cos(x)` sin(x) = d(sin(x),x,cos(x))

    这个动画展示了不同分数微分算子D如何操作在 y=x(o(x)=0阶, 蓝色),结果(分数阶, 绿色)在一般的积分(o(x)= -1阶, y=x^2/2 ,紫色)及一般的一次微分( o(x)=1阶, y=1 ,红色)间连续变化。

    分数阶微分方程 Fractional differential equation

    `d^(pi)/dx^(pi) y - int y(x) (dx)^pi` = 2exp(x)

    计算

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    使用经验

    1. 怎么求函数的分数阶导数?兼谈数学手册计算器_百度经验
    2. 分数阶导数 - qq_34040902的博客 - CSDN博客
    3. 特殊的微分方程的解法_百度经验

    例题

    应用

    近年来分数阶微积分被广泛的应用于反常扩散、信号处理与控制、流体力学、图像处理、软物质研究、地震分析、粘弹性阻尼器、电力分形网络、分数阶正弦振荡器、分形理论、分数阶PID控制器设计, 电化学. 最后二篇参考资料就是在电化学的应用。

    参考文献

    书单

    分数阶导数简介 
    参阅
    1. 数学 - 数学符号 - 数学索引
    2. 手册 = 中学数学手册 + 数学手册 + 实用数学手册
    3. 初等数学 = 中学数学 = 初中数学 + 高中数学
    4. 高等数学 = 基础数学 ( 代数 + 几何 + 分析 ) + 应用数学
    5. 数学公式 - 函数图 - 曲线图 - 立体图 - 动画 - 例题
    6. 书单 = 数学 + 物理 + 化学 + 计算机 + 医学 + 英语 - QQ群614057790下载书
    7. 数学手册计算器 = 数学 + 手册 + 计算器 + 计算机代数系统
    8. 例题:
    
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