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任意阶微积分 Any Order Calculus

任意阶微积分, 一统天下把微分与积分统一到一个公式`d^(o(x))/dx^(o(x))`y, 其中o(x)是阶函数(the order function )。当o(x)是正整数时它是导数微分,当o(x)是负整数时它是积分,负2阶是二重积分,当o(x)是分数时它是分数阶微积分, 当o(x)是变量时它是函数阶导数。这些都可用数学手册计算器计算.

分数阶微积分 Fractional Calculus

  • 分数阶导数简介

    导数的定义可以从正整数n阶扩展到所有的实数n阶. 1/2阶是半导数 半微分, 例如, 分数阶微分在一个简单函数f(x)=x 上的应用,
    `d^0.5/dx^0.5 x` = d(x,x,1/2)

    半导数是在0阶导数到1阶导数之间, 函数 f ( x ) = x (0阶导数,蓝色线条)的半导数(紫色线条)以及一阶导数(红色线条),
    二次半微分 = 1阶微分,
    `d^0.5/dx^0.5 d^0.5/dx^0.5 x = d/dx x = 1`

    对于任意的o(x), 由于伽玛函数的参数在实数部为负整数时没有定义,需要在分数微分前先进行整数微分。例如
    `D^(3/2)`sin(x)=`D^(1/2)D^1`sin(x)=`d^(1/2)/dx^(1/2) d/dx` sin(x) = d(sin(x),x,3/2)

    这苻合Caputo的定义,

    Caputo的定义是先微分后积分,对于分数阶微分方程的初值要求与普通微分方程相同,因此本文釆用广义Caputo的定义: 积分下限a为f(x)的反函数`f^(-1)(0)` . 对于实数值的n阶,当n为整数时,若n>0,它等同于通常的幂n次操作,当n<0, 它等同于n次积分J。

    负阶导数

    负阶导数相当积分, 负一阶等于积分, 负2阶是二重积分,负1/2阶是半积分:
    `d^(-1/2)/dx^(-1/2) sin(x)` = d(sin(x),x,-1/2) = `int sin(x) \ (dx)^(1/2)` = integrate(sin(x),x,1/2)

    无限阶积分

    无限阶积分就是无限重积分, 例如
    `sum_(k=1)^oo int ... int exp(x) (dx)^k` = sum(integrates(exp(x),x,k),k,0,oo)

    复数阶微积分

    以上微分算子的扩展不仅仅局限于实数次阶, 微分算子扩展到复数阶。举个例子, (1-i)阶导数作用后, (1+i)阶导数再作用,可以得到二阶导数。
    (1+i)阶微分和(1-i)阶微分 = 2阶微分,
    `d^(1+i)/dx^(1+i) d^(1-i)/dx^(1-i) sin(x) = d^2/dx^2 sin(x) = -sin(x)`

    函数阶微积分

    当阶数o(x)是变量时, 它是函数阶导数微分。阶数sin(x) 从-1到1间连续变化,

    `d^sin(x)/dx^sin(x)` x

    这个动画展示了不同分数微分算子D如何操作在 y=x(o(x)=0阶, 蓝色),结果(分数阶, 绿色)在一般的积分(o(x)= -1阶, y=x^2/2 ,紫色)及一般的一次微分( o(x)=1阶, y=1 ,红色)间连续变化。

    `d^cos(x)/dx^cos(x)` sin(x) = d(sin(x),x,cos(x))

    分数阶微分方程 Fractional differential equation

    `d^(pi)/dx^(pi) y - d^(1/pi)/dx^(1/pi)` y = exp(x)

    计算

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    使用经验

    1. 怎么求函数的分数阶导数?兼谈数学手册计算器_百度经验
    2. 分数阶导数 - qq_34040902的博客 - CSDN博客
    3. 特殊的微分方程的解法_百度经验

    例题

    应用

    近年来分数阶微积分被广泛的应用于反常扩散、信号处理与控制、流体力学、图像处理、软物质研究、地震分析、粘弹性阻尼器、电力分形网络、分数阶正弦振荡器、分形理论、分数阶PID控制器设计,电化学 (参阅参考文献)。

    参考文献

    书单

    分数阶导数简介 
    参阅
    1. 数学 - 数学符号 - 数学索引
    2. 手册 = 中学数学手册 + 数学手册 + 实用数学手册
    3. 初等数学 = 中学数学 = 初中数学 + 高中数学
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